[선형대수학] 1.1 Systems of Linear Equations - 선형방정식, 해, 행렬표기법, 소거법, 상등, 행 연산, consistent

이번 포스팅에서 공부할 것은 아래와 같다.

 

1. 선형방정식  Linear Equation

2. 선형방정식 계 Systems of linear equation

3. 해의 집합 Solution set

4. Consistent , Inconsistent 의 의미

5. 행렬표기법 Matrix notation

6. 소거법 elimination

7. 행 연산 Row operation(replacement, interchange, scaling)

8. 상등 / 행 상등 equivalent, row equivalent

 

1. 선형방정식 - linear equation

x1, x2, ....... , xn 변수로 이뤄진 선형방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 b와 a1, a2, a3, a4, ....., an 은 실수 혹은 허수인 상수(coefficient) 이다.

 

위 식은 선형방정식이 아니다. 

그 이유는 x1x2, x1^(1/2) 때문이다.

 

2. 선형방정식 계 - System of linear equation

 

선형 방정식 계(a system of linear equation)은 선형 시스템(linear system)이라는 용어를 사용하기도 하는데, 

 선형 방정식 계는 같은 변수들을 포함한 선형 방정식이 1개 또는 그 이상의 집합을 의미한다. 

 위 두 개의 선형방정식은 선형 방정식 계라고 할 수 있습니다.

 

3. 해의 집합 - Solution set 

Solution set 은 선형시스템에서 모든 가능한 해의 집합을 의미한다. 

 

4. 상등 equivalent 

두 선형 시스템이 같은 solution set을 갖고 있다면, 두 선형 시스템은 "상등"이라고 한다. 

 

5. 해가 있다(consistent) VS 해가 없다(inconsistent)

(1) 해가 없다. - inconsistent

 inconsistent는 no solution을 의미한다.

 이 처럼 두 직선이 평행하게 되면 교차점이 없다.

 이 경우에 no solution(해가 없다)이며, 두 방정식은 inconsistent 하다.

 

(2) 해가 있다. - consistent

 두 방정식이 consistent 관계에 있으면 (i) 해가 무수히 많다. (ii) 하나의 해가 있다. 두 가지 경우로 해석할 수 있다.

 

 해가 하나인 경우 

 

 해가 무수히 많은 경우

 

 즉, 선형 방정식 계는 1. no solution, 2. exactly one solution, 3. infinitely many solution 세 가지 경우를 갖고 있다.

 inconsistent는 1. no solution 을 의미하고 consistent는 2. exactly one solution, 3. infinitely many solution을 의미한다.

 

6. 행렬 표기법 - matrix notation

 행렬 표기법은 선형 시스템을 행렬로 표현한 것이다.

 이 3개의 방정식을 행렬로 표기하면 다음과 같다.

 

(1) 계수 행렬 - coefficient matrix (3x3)

 계수 행렬은 b를 제외하고 a만을 행렬로 나타낸 것이다.

 

(2) 첨가 행렬 - augmented matrix (3x4)

 첨가 행렬은 b까지 포함한 행렬이다.

 

7. 소거법 - elimination

 행 연산(row operation)을 통해 소거법(elimination)을 진행하고 선형 방정식(linear equation)의 해(solution)를 구할 수 있다.

 

1. 마지막 행의 x1x1의 계수를 0으로 만든다.

2. 마지막 행의 x2x2의 계수를 0으로 만든다.

3. 마지막 행의 x3x3의 계수를 1로 만든다.

x3x3을 알았으므로 대입을 이용해 x1,x2x1,x2를 구할 수 있습니다.

 

 

 x1=1,x2=0,x3=−1x1=1,x2=0,x3=−1로 one solution을 갖고 있으므로 세 방정식은 consistent 합니다.

 또한 같은 solution set을 갖고 있으므로 row equivalent 합니다.

8. 행 연산 - row operation

 소거법(elimination) 절차에서 3가지 행 연산이 이용되었다.

 

(1) replacement

 상수로 곱셈이 된 다른 행을 하나의 행에 더하는 행위

 

(2) interchange

 두 개의 행을 바꾸기

 

(3) scaling

 0이 아닌 상수로 행의 모든 항목을 곱하기

 

9. 행 상등 - row equivalent

 행 연산 과정을 통해 하나의 행렬을 다른 행렬로 변환된다면 두 행렬은 행상등(row equivalent) 하다고 할 수 있습니다.

 두 선형 시스템이 행상등하다면 두 시스템은 동일한 해의 집합을 갖고 있다.

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