[선형대수학] 1.2 행줄임과 사다리꼴 - Row Reduction and Echelon Forms - 기약사다리꼴, 사다리꼴, 기본변수, 자유변수, 유일성, 행줄임

아래와 같은 내용을 포스팅하고자 한다. 

 

행줄임 Row Reduction 

사다리꼴 Echelon Forms 

기약 사다리꼴

0이 아닌 행과 열 A nonzero row of column

행의 선행 성분 A leading entry  of row

기약사다리꼴의 유일성 Uniqueness of the Reduced Echelon Form

행 줄임 알고리즘 Row reduction algorithm

선형시스템의 행 Solution of linear systems

일반해 General solution

기본변수 Basic variable

자유변수 free variable

유일성과 존재 Existence and Uniqueness Theorm

 

* 행줄임으로 기약사다리꼴을 만들수 있고, 기약사다리꼴로 만들면 쉽게 해를 찾을 수 있다.

 

 

1. 0이 아닌 행과 열 - A nonzero row or column

 A nonzero row or column은 행과 열의 항목이 1개라도 0이 아닌 것을 의미한다!

 

nonzero column

 

nonzero row

 

2. 행의 선행성분 - A leading entry of row

 A leading entry of row는 행에서 제일 왼쪽에 있는 nonzero entry를 의미한다.

 

 

3. 사다리꼴 - Echelon form

 Echelon form은 두 가지 조건을 만족한다.

 

(1) 모든 nonzero rows는 all zeros row보다 위에 있다.

(2) 행의 leading entry는 위에 있는 leading entry보다 오른쪽 열에 있다.

 

4. 기약 행 사다리꼴 - Reduced echelon form

 기약 행 사다리꼴은 사다리꼴의 2가지 조건에서 2가지 조건을 더 만족해야 하는데,

 

(1) nonzero 행에 있는 leading entry는 1이다.

(2) leading entry가 1인 부분을 제외하고 이것의 열은 모두 0이어야 한다.

 

 그리고 1의 위치를 pivot position이라고 한다!!!

 

5. 이론1. 기약 사다리꼴의 독특성 - Theorem 1. Uniqueness of the Reduced Echelon Form

 

 

 각각의 행렬에서 기약 사다리꼴은 1개밖에 없습니다.

 다른 형태의 기약 사다리꼴은 없습니다.

 

6. 행 줄임 알고리즘 - Row reduction algorithm

 4단계의 행 줄임(row reduction) 알고리즘을 통해 사다리꼴(echelon form)을 만들 수 있다.

 그리고 5단계는 기약 행사다리꼴(reduced echelon form)을 만든다.

 

 1~4단계를 전향단계(forward phase), 5단계를 후향단계(backward phase)라고 한다.

 전향단계 과정으로 사다리꼴을 만들고, 후향단계 과정으로 기약 행 사다리꼴을 만든다.

 

STEP 1 - 가장 왼쪽의 nonzero 열에서 시작한다. 이곳은 pivot column이며 pivot position이다.

 pivot position이 0이므로 다른 행과 interchange를 해줘야 합니다.

 

STEP 2 - pivot column에서 pivot으로 nonzero entry를 선택해라. 만약 필요하다면 interchange를 해라.

 

STEP 3 - replacement 연산을 사용해서 pivot 아래의 항목들을 모두 0으로 만들어라

( row reduction과정에서 하나의 행렬이 다른 행렬로 바뀌었으므로 이 선형시스템은 행 상등(row equivalent)하다고 할 수 있다 ) 

 

STEP 4 - steps 1-3을 submatrix에 적용해라.

 1~4단계인 전향단계(foward phase)를 통해 echelon form이 만들어 졌다.

 이제 5단계인 후향단계(backfoward phase)를 통해 reduced echelon form을 만들어야한다! 

 

STEP 5 - 맨 아래의 pivot을 1로 만들고 pivot위를 다 0으로 만듭니다.

 이처럼 5단계를 통해 기약 사다리꼴(reduced ehelon form)을 만들 수 있다.

 

7. 선형 시스템의 해 - Solution of linear systems

 첨가행렬(augmented matrix)를 행줄임(row reduction) 알고리즘으로 기약 사다리꼴(reduced ehelon form)을 만든다면 선형 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 행줄임으로 구한 기약 사다리꼴 형태의 첨가행렬을 보면 아래와 같다. 

 이를 선형방정식으로 나타낼 수 있다.

 위 선형방정식에서 해를 구하면 다음과 같다.

 

 여기서 중요한 것은 일반 해(general soution), 기본 변수(basci variables), 자유 변수(free variable) 용어에 대한 이해이다.

 

(1) 자유 변수 - free variable

 x3을 free variable 이라고 합니다.

 x3을 어떤 값으로 두어도 0 = 0을 만족하기 때문입니다.

 

(2) 기본 변수 - basic variables

 기본 변수(basic variables)는 자유 변수(free variables)로 표현한 것을 의미한다.

 

(3) 일반해 - general solution

 일반 해는 basic variables와 free variables로 표현된 해를 의미한다.

 

9. 이론2. 유일함과 존재 이론 - Existence and Uniqueness Theorem

 

- 선형방정식이 consistent 하면, augmented matrix에서 b가 pivot position이 아니다.

-> b를 제외하고 0인 행렬이 있으면 안된다.

( 0000  6 ) 이런꼴이 있으면 안된다는 뜻임!  

 

-  선형 시스템이 consistent하면, (i) 자유변수(free variables)가 없다면 해가 1개이다. (ii) 1개 이상의 자유 변수(free variables)가 있다면 해는 무수히 많다