David의 개발 이야기!
[선형대수학] 1.3 벡터방정식 - Vector Equations - span, linear combination, vector equation 본문
[선형대수학] 1.3 벡터방정식 - Vector Equations - span, linear combination, vector equation
david.kim2028 2022. 9. 24. 20:26이번 포스팅에서는 아래의 것들을 다루고자 한다!
Vectors in R^n
linear combination
vector equation
1. 2차원 실수 체계에서의 R^2
R^2 가 의미하는 것은 2차원 실수 체계를 의미한다.
벡터의 표현방법은 3가지가 있다.
(1) 대괄호
(2) 좌표
(3) 화살표
2. 벡터의 덧셈 - Vector summation
2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어지면, 덧셈을 할 수 있다.
3. 스칼라 곱 - Scalar multiplication
스칼라와 벡터를 곱할 수 있다.
스칼라는 단 하나의 값을 의미한다.
scalar 와 vector를 곱하면 vector 차수를 따르게 된다!
4. 2차원 실수 체계 공간에서의 기하하적 표현 - Geometric descriptions of R^2
(1) 벡터 덧셈의 기하하적 표현
(2,2) + (-6,1)
(2) 스칼라 곱 기하학적 표현
이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있다.
5. 3차원 실수체계에서의 벡터 - Vectors in 3
3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.
( 자료 출처 : https://deep-learning-study.tistory.com/296 )
6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 - Vectors in
7. n공간에서 대수학적 성질 - Algebraic properties of
8. 선형 결합 Linear Combinations
공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있다.
이것을 weights(c1,...,cp)가 있는 v1,...,vp의 선형 결합(linear combination)이라고 한다.
weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미한다.
9. 벡터 방정식은 선형시스템의 augmented matrix와 같이 풀어갈 수 있다.
vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있다.
가 주어졌을 때 의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있다.
이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있다.
의 solution을 구할 수 있다.
10. Span{v1, v2, ..... , vn }의 의미
v1, v2, ..... , vn 가 있을 때, span 은 c1v1, c2v2 ..... cpnp 형태의 linear combination을 의미함.
즉, span 은 linear combination을 간단히 표현한 것임!
11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현
Span{v}는 3차원에서 직선
Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있다.
u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있다.
12. b가 Span{}에 존재하는지 확인하기
a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있다.
augmented matrix로 표현
3번째 방정식이 0=-2 이다.
이는 no solution을 의미한다.
따라서 b는 span{a1,a2}에 없다.
b is not in Span{a1,a2}
