[선형대수학] 1.3 벡터방정식 - Vector Equations - span, linear combination, vector equation

이번 포스팅에서는 아래의 것들을 다루고자 한다! 

 

Vectors in R^n

linear combination

vector equation

 

1. 2차원 실수 체계에서의 R^2

R^2 가 의미하는 것은 2차원 실수 체계를 의미한다. 

 

벡터의 표현방법은 3가지가 있다.

 

(1) 대괄호 

 

(2) 좌표

 

 

(3) 화살표 

 

 

 

2. 벡터의 덧셈 - Vector summation

2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어지면, 덧셈을 할 수 있다. 

 

 

3. 스칼라 곱 - Scalar multiplication

스칼라와 벡터를 곱할 수 있다.

스칼라는 단 하나의 값을 의미한다.

scalar 와 vector를 곱하면 vector 차수를 따르게 된다!

 

 

4. 2차원 실수 체계 공간에서의 기하하적 표현 - Geometric descriptions of R^2 

 

(1) 벡터 덧셈의 기하하적 표현 

(2,2) + (-6,1)

 

(2) 스칼라 곱 기하학적 표현

 이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있다.

 

5. 3차원 실수체계에서의 벡터 - Vectors in R^3

 3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.

( 자료 출처 : https://deep-learning-study.tistory.com/296 ) 

 

6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 - Vectors in R^n

 

7. R^n공간에서 대수학적 성질 - Algebraic properties of R^n

 

 

8. 선형 결합 Linear Combinations

R^2 공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있다. 

 

 이것을 weights(c1,...,cpc1,...,cp)가 있는 v1,...,vpv1,...,vp의 선형 결합(linear combination)이라고 한다.

 weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미한다.

 

9. 벡터 방정식은 선형시스템의 augmented matrix와 같이 풀어갈 수 있다. 

 

 vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있다.

 

 a1,a2,b가 주어졌을 때 a1,a2 의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있다.

 

 이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있다.

 x1=3, x2=2 의 solution을 구할 수 있다.

 

 

 10. Span{v1, v2, ..... , vn }의 의미

v1, v2, ..... , vn 가 있을 때, span 은 c1v1, c2v2 ..... cpnp 형태의 linear combination을 의미함.

즉, span 은 linear combination을 간단히 표현한 것임! 

 

 

11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현

 Span{v}는 3차원에서 직선

 Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있다.

 u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있다.

 

12. b가 Span{a1,a2}에 존재하는지 확인하기

 a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있다.

augmented matrix로 표현

 3번째 방정식이 0=-2 이다.

 이는 no solution을 의미한다.

 따라서 b는 span{a1,a2}에 없다.

 b is not in Span{a1,a2a1,a2}